一元二次不等式的解法【优秀3篇】

元二次不等式的解法 篇一

教学目标 

（1）掌握；

（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；

（3）了解简单的分式不等式的解法；

（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；

（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；

（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观。

教学重点：；

教学难点 ：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ.设置情境

问题：

①解方程

②作函数 的图像

③解不等式

【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？

【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式 的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

Ⅱ.探索与研究

我们现在就结合不等式 的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出 的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）

【答】方程 的解集为

不等式 的解集为

【置疑】哪位同学还能写出 的解法？（请一程度差的同学回答）

【答】不等式 的解集为

我们通过二次函数 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题 的解集，还求出了 的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论。为简便起见，暂只考虑 的情形。请同学们思考下列问题：

如果相应的一元二次方程 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数 的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）

【答】二次函数 的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）

【答】 的解集依次是

的解集依次是

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数 的图像。

课本第19页上的例1.例2.例3.它们均是求解二次项系数 的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）

Ⅲ.演练反馈

1.解下列不等式：

（1）     （2）

（3）     （4）

2.若代数式 的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是            。

3.解不等式

（1）     （2）

参考答案：

1.（1） ；（2） ；（3） ；（4）R

2.

3.（1）

（2）当 或 时， ，当 时，

当 或 时， 。

Ⅳ.总结提炼

这节课我们学习了二次项系数 的，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

（五）、课时作业

（P20.练习等3、4两题）

（六）、板书设计 

第二课时

Ⅰ.设置情境

（通过讲评上一节课课后作业 中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）

上节课我们只讨论了二次项系数 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数 的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？

Ⅱ.探索研究

（学生议论纷纷。有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，…….教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解。）

生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数 的一元二次不等式的解集。

生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了。

师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的。不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论。这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误。而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4.

（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍。）

[知识运用与解题研究]

由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为 的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求

解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式。（调两位程度中等的学生演板）

（1）     （2）

（分别为课本P21习题1.5中1大题（2）、（4）两小题。教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题。）

训练二  可化为一元一次不等式组来求解的不等式。

目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦。故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解。现在清同学们阅读课本P20上关于不等式 求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题。）

【答】因为满足不等式组 或 的x都能使原不等式 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集。

这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式。（调三位程度各异的学生演板。教师巡视，重点关注程度较差的学生）.

（1）     ［P20练习中第1大题］

（2）     ［P20练习中第1大题］

（3）     ［P20练习中第2大题］

（老师扼要讲评三位同学的解答。尤其要注意纠正表述方面存在的问题。然后讲解P21例5）.

例5  解不等式

因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解 （或 ）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。

解：（略）

现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。

（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。）

[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。

（通过多媒体或其他载体给出下列各题）

1.不等式 与 的解集相同此说法对吗？为什么[补充]

2.解下列不等式：

（1）               ［课本P22第8大题（2）小题］

（2）             ［补充］

（3）     ［课本P43第4大题（1）小题］

（4）         ［课本P43第5大题（1）小题］

（5）           ［补充］

（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）

参考答案：

1.不对。同 时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

2.（1）

（2）原不等式可化为： ，即

解集为 。

（3）原不等式可化为

解集为

（4）原不等式可化为 或

解集为

（5）原不等式可化为： 或 解集为

Ⅲ.总结提炼

这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。

（五）布置作业

（P22.2（2）、（4）；4；5；6。）

（六）板书设计 

元二次不等式的解法 篇二

一、教材内容分析：

1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。

概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

2.教学目标定位。

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。

3.教学重点、难点确定。

本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

二、教法学法分析：

数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了①创设情景——引入新课，②交流探究——发现规律，③启发引导——形成结论，④练习小结——深化巩固，⑤思维拓展——提高能力，五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。

三、教学过程分析：

1.创设情景——引入新课。我们常说“兴趣是最好的老师”，长期以来，学生对学习数学缺乏兴趣，甚至失去信心，一个重要的原因，是老师在教学中不重视学生对学习的情感体验，教学应该充分考虑学生的情感和需要，想方设法让学生在学习中树立信心，感受学习的乐趣。根据教材内容的安排，我以学生熟悉的画一次函数图象、求一次方程和一次不等式的解为背景知识切入，设置一个练习题组，一方面让学生总结复习已有知识，为后面学习二次不等式的解法打下基础，做好铺垫，另一方面，使学生在自己熟悉的问题中首先获得解题成功的快乐体验，然后以XX年江苏省的一道高考试题为引子，引入本节课的新授内容。对于本题，引导学生，利用上面解练习题组1的方法，画出二次函数图象来解答。二次函数是初中数学的重要内容，本题又给出了函数图象上许多点，相信学生画出图象应该不成问题，只要教师适当点拨，学生不难得到正确答案。以高考试题为背景引入新课，可以提高学生兴趣，抓住学生眼球，吸引学生注意力，还可以让学生实实在在感受到，高考题就在我们的课本中，就在我们平常的练习中。

2.探究交流——发现规律。从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示问题本质最常用的方法之一。我把课本例题1、2编为练习题组(一),交由学生用上面解高考题的方法——图象法去解，学生由于熟知二次函数图象，求解应该不会有太大的问题。在这个过程中，教师要启发引导学生注意对比两题的异同，组织引导学生展开交流讨论，探讨第(2)题能不能先把二次项系数化正以后再构造函数画图求解。然后达成共识，如果二次项系数为负数时，先做等价转化，把二次项系数化为正数再解，课本19页例3、例4作为题组(二)，继续让学生用上面的图象法，由学生自己求解，这时我及时提示学生注意这两题与题组(一)中两题的不同(例1、例2对应方程都有两个不等实根，例3对应方程有两相等实根，例4对应方程无实根)。两个题组的练习之后，可以寻求解二次不等式的一般规律。

3.启发引导——形成结论。前面两个题组的四个小题，基本涵盖了一般一元二次不等式解的各种情况，进一步启发引导学生将特殊、具体题目的结论做一般化总结，与学生一起就 △>0,△<0,△=0 的三种情况，总结二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0)的解的情况应该水到渠成。至此，学生可以感受到，解二次不等式只须①将二次项系数化为正数，②求解二次方程 ax2+bx+c=0 的根。③根据①后的二次不等式的符号写出解集即可，必要时也可以结合图象写解集。这样我们就得到了二次不等式的另外一种解法(可称为“三步曲”法)。

4.训练小结——巩固深化。为了巩固和加深二次不等式的两种解法，接下来及时组织学生进行课堂练习，完成课本21页练习1-4题。本环节请不同层次的学生在黑板上书写解题过程，之后师生共同纠正问题，规范解题过程的书写。

5.延伸拓宽——提高能力。课堂教学既要面向全体学生，又应关注学生的个体差异。体现分类推进，分层教学的原则。为此，我又设计了一个提高练习题组，共有三道备选题目，以供程度较好学有余力的学生能够更好的展示自己的解题能力，取得更进一步的提高。

四、课堂意外预案：

新课程理念下的教学更多的关注学生自主探究、关注学生的个性发展，鼓励学生勇于提出问题，培养学生思维的批评性。在课堂上学生往往会提出让老师感到“意外”的问题，我在平时的教学中重视对“课堂意外预案”的探索和思考，备课时尽量设想课堂中可能会出现的各种情况，做到有备无患，以免在课堂中学生提出让自己出乎意料的问题，使自己陷入被动尴尬境地。结合以往经验，在本节课，我提出两个“意外预案”。

1.学生在做课本练习1(x+2)(x-3)>0 时，可能会问到转化为不等式组{或{ 求解对不对。学生提出的问题，想法非常好，应给予肯定和鼓励，这与下节简单分式不等式和高次不等式的解法有关，是解不等式的另一种解法——等价转化法，不在本节课之列。

2.根据以往的经验，在解(x-1)(x+2)>1一类的不等式的时候，由于受方程(x+1)(x+2)=0 可转化为x-1=0或x+2=0求解的影响，有可能会出现将不等式转化为不等式组{来求解的错误做法，教师要关注学生，及时发现问题并给予纠正，指出上面的转化不是等价转化。

元二次不等式的解法 篇三

教学目标

(1)把握一元二次不等式的解法；

(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；

(3)了解简单的分式不等式的解法；

(4)能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；

(5)能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

(6)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；

(7)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生熟悉到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观。

教学重点：一元二次不等式的解法；

教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

教与学过程设计

第一课时

ⅰ.设置情境

问题：

①解方程

②作函数 的图像

③解不等式

置疑在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？

回答函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式 的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注重色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上！)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

ⅱ.探索与研究

我们现在就结合不等式 的求解来试一试。(师生共同活动用“非凡点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出 的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。)

答方程 的解集为

不等式 的解集为

置疑哪位同学还能写出 的解法？(请一程度差的同学回答)

答不等式 的解集为

我们通过二次函数 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第(5)小题 的解集，还求出了 的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论。为简便起见，暂只考虑 的情形。请同学们思考下列问题：

假如相应的一元二次方程 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数 的图像与x轴的位置关系如何？(提问程度较好的学生)

答二次函数 的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。(通过多媒体或其他载体给出以下表格)

答 的解集依次是

的解集依次是

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数 的图像。

课本第19页上的例1.例2.例3.它们均是求解二次项系数 的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

(教师巡视，重点关注程度稍差的同学。)

ⅲ.演练反馈

1.解下列不等式：

(1) (2)

(3) (4)

2.若代数式 的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。

3.解不等式

(1) (2)

参考答案：

1.(1) ;(2) ;(3) ;(4)r

2.

3.(1)

(2)当 或 时， ,当 时，

当 或 时， 。

ⅳ.总结提炼

这节课我们学习了二次项系数 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

(五)、课时作业

(p20.练习等3、4两题)

(六)、板书设计

第二课时

ⅰ.设置情境

(通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。)

上节课我们只讨论了二次项系数 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数 的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？

ⅱ.探索研究

(学生议论纷纷。有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，…….教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解。)

生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数 的一元二次不等式的解集。

生乙：我觉得先在不等式两边同乘以-1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了。

师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的。不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论。这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论轻易搞混导致错误。而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4.

(待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍。)

[知识运用与解题研究]

由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为 的一元二次不等式来求解的，因此只要把握了上一节课所学过的方法。我们就能求

解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式。(调两位程度中等的学生演板)

(1) (2)

(分别为课本p21习题1.5中1大题(2)、(4)两小题。教师讲评两位同学的解答，注重纠正表述方面存在的问题。)

练习二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式。

目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦。故在求解形如 (或 )的一元二次不等式时则根据(有理数)乘(除)运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解。现在清同学们阅读课本p20上关于不等式 求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？(待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题。)

答因为满足不等式组 或 的x都能使原不等式 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集。

这个回答说明了原不等式的解集a与两个一次不等式组解集的并集b是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式。(调三位程度各异的学生演板。教师巡视，重点关注程度较差的学生).

(1) [p20练习中第1大题]

(2) [p20练习中第1大题]

(3) [p20练习中第2大题]

(老师扼要讲评三位同学的解答。尤其要注重纠正表述方面存在的问题。然后讲解p21例5).

例5 解不等式

因为(有理数)积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解 (或 )之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。

解：(略)

现在请同学们完成课本p21练习中第3、4两大题。

(等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。)

[练习三]用“符号法则”解不等式的复式练习。

(通过多媒体或其他载体给出下列各题)

1.不等式 与 的解集相同此说法对吗？为什么[补充]

2.解下列不等式：

(1) [课本p22第8大题(2)小题]

(2) [补充]

(3) [课本p43第4大题(1)小题]

(4) [课本p43第5大题(1)小题]

(5) [补充]

(每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程)

参考答案：

1.不对。同 时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

2.(1)

(2)原不等式可化为： ,即

解集为 。

(3)原不等式可化为

解集为

(4)原不等式可化为 或

解集为

(5)原不等式可化为： 或 解集为

ⅲ.总结提炼

这节课我们重点讲解了利用(有理数)乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注重的是，这一方法对符合上述外形的高次不等式也是有效的，同学们应把握好这一方法。

(五)布置作业

(p22.2(2)、(4);4;5;6。)

(六)板书设计