一元二次方程的解法【精选7篇】

元二次方程的解法 篇一

教学目标

1.  初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 的方程；

2.  初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3.  掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4.  会用因式分解法解某些一元二次方程。

5.  通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：

一、教材分析：

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式 （ ）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1）把方程化为一般形式，并做到 、 、 之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数 、 、 代入公式时，注意它们的符号。

3）当 时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1.教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质。

2. 注意培养应用意识。教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践。

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元二次方程的解法 篇二

教学目标 

1.  初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 的方程；

2.  初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3.  掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4.  会用因式分解法解某些一元二次方程。

5.  通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：

一、教材分析：

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式 （ ）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1）把方程化为一般形式，并做到 、 、 之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数 、 、 代入公式时，注意它们的符号。

3）当 时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1. 教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质。

2. 注意培养应用意识。教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践。

教学设计示例

教学目标 

1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;

2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；

3. 在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程。

难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程 设计

一 复习

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的？(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪几种形式？

(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例  解方程：(x-3) 2=4  (让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得  x-3=±2，移项，得  x=3±2。

所以  x1=5,x2=1.      (并代回原方程检验，是不是根)

4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)

(x-3) 2=4,     ①

x2-6x+9=4,   ②

x2-6x+5=0.    ③

二 新课

1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通过观察，发现规律

问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。   (添一项+1)

即   (x2+2x+1)=(x+1) 2.

练习，填空：

x2+4x+( )=(x+  ) 2;     y2+6y+(  )=(y+  ) 2.

算理  x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取？算理是什么？

巩固练习(填空配方)

x2-bx+(  )=(x-  ) 2;            x2-(m+n)x+(  )=(x-  ) 2.

元二次方程的解法 篇三

[课    题] §12.2 一元二次方程的解法（1）——直接开平方法[教学目的]  使学生掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；使学生会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。[教学重点]  掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程。[教学难点 ]  会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程。[教学关键]  会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。[教学用具]  [教学形式]  讲练结合法。[教学用时]  45′×1 [教学过程 ][复习提问] 1、什么叫做整式方程？（方程两边都是关于未知数的整式，叫做整式方程。）2、什么样的方程叫做一元一次方程？什么样的方程叫做一元二次方程？（在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。）3、说明一元一次方程与一元二次方程的相同点和不同点？（都是整式方程，并且都含有一个未知数，这是它们的相同点；它们的不同点是未知数的次数，一个是一次，一个是二次。）4、一元二次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？（一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0，其中a应不等于零。因为a=0，则方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。）5、x2－4=0是一元二次方程吗？其中二次项的系数、一次项的系数、常数项各是什么？（是。二次项系数是1、一次项系数是0、常数项是－4。）[讲解新课]我们来解方程：x2－4=0。先移项，得：x2=4。（这里，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的什么？——这个数x叫做4的平方根或二次方根；一个正数有几个平方根？——一个正数有两个平方根，它们互为相反数；求一个数的平方根的运算叫做什么？——叫做开平方。）上面的x2=4，实际上就是求4的平方根。因此，x=± 即，x1=2，x2=－2。讲（或提问）到此，指出 ：这种解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。提问：用直接开平方法解下列方程：1、x2－144=0；           2、x2－3=0；3、x2+16=0；             4、x2=0。（1、x1=12，x2=－12；2、x1=，x2=－ ；3、无解——负数没有平方根；4、x=0——0有一个平方根，它是0本身）。例2  解方程：（x+3）2=2。说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法——配方法。可以看出，原方程中x+3是2的平方根，解：x+3=± 即：x1=－3+ ，或x2=－3－ 。∴  x1=－3+ ，x2=－3－ 。提问：解下列方程：1、（x+4）2=3；        2、（3x+1）2=－3。（1、x1=－4+ ，x2=－4－ 。2、无解。）[课堂练习]教科书第7页练习1，2题。[课堂小结]直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x2=b（b≥0）；（x－a）2=b（b≥0）。根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b≥0，当b＜0时，方程无解。[课外作业 ]教科书第15习题12.1A组第1，2题。对学有余力的学生可做B组第1题。 [板书设计 ]课题：      例题：辅助板书： [课后记]

通过本节课的学习，学生已掌握了一元二次方程的解法之一——直接开平方法，并能熟练地求出能应用直接开平方法解的一元二次方程的两个根，同时掌握了一元二次方程的解题步骤及书写格式。

元二次方程的解法 篇四

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ²+bχ+c=0（a≠0）吗？

小亮是这样做的：

aχ²+bχ+c=0（a≠0）

两边都除以a

χ²+b/aχ+c/a=0

配方

如果b²-4ac≥0

一般的，对于一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，它的根是：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。他的依据就是配方法。

学生可自主探索求根公式。

牢记公式

二、

例  解方程：χ²-7χ-18=0

解：这里a=1，b=-7，c=-18

∵b²-4ac=（-7）²-4×1×（-18）=121>0

∴

即

随堂练习：

1、用公式法解下列方程：

（1）2χ²-9χ+8=0

（2）9χ²+6χ+1=0

（3）16χ²+8χ=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。

作业 ：习题2.6   1、2

要求学生先找出a，b，c，对b²-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

课后记

根据公式会解一元二次方程

元二次方程的解法 篇五

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ²+bχ+c=0（a≠0）吗？

小亮是这样做的：

aχ²+bχ+c=0（a≠0）

两边都除以a

χ²+b/aχ+c/a=0

配方

如果b²-4ac≥0

一般的，对于一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，它的根是：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。他的依据就是配方法。

学生可自主探索求根公式。

牢记公式

二、

例  解方程：χ²-7χ-18=0

解：这里a=1，b=-7，c=-18

∵b²-4ac=（-7）²-4×1×（-18）=121>0

∴

即

随堂练习：

1、用公式法解下列方程：

（1）2χ²-9χ+8=0

（2）9χ²+6χ+1=0

（3）16χ²+8χ=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。

作业 ：习题2.6   1、2

要求学生先找出a，b，c，对b²-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

课后记

根据公式会解一元二次方程

元二次方程的解法 篇六

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ²+bχ+c=0（a≠0）吗？

小亮是这样做的：

aχ²+bχ+c=0（a≠0）

两边都除以a

χ²+b/aχ+c/a=0

配方

如果b²-4ac≥0

一般的，对于一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，它的根是：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。他的依据就是配方法。

学生可自主探索求根公式。

牢记公式

二、

例  解方程：χ²-7χ-18=0

解：这里a=1，b=-7，c=-18

∵b²-4ac=（-7）²-4×1×（-18）=121>0

∴

即

随堂≤www.paomian.net≥练习：

1、用公式法解下列方程：

（1）2χ²-9χ+8=0

（2）9χ²+6χ+1=0

（3）16χ²+8χ=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。

作业 ：习题2.6   1、2

要求学生先找出a，b，c，对b²-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

课后记

根据公式会解一元二次方程

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ²+bχ+c=0（a≠0）吗？

小亮是这样做的：

aχ²+bχ+c=0（a≠0）

两边都除以a

χ²+b/aχ+c/a=0

配方

如果b²-4ac≥0

一般的，对于一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，它的根是：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。他的依据就是配方法。

学生可自主探索求根公式。

牢记公式

二、

例  解方程：χ²-7χ-18=0

解：这里a=1，b=-7，c=-18

∵b²-4ac=（-7）²-4×1×（-18）=121>0

∴

即

随堂练习：

1、用公式法解下列方程：

（1）2χ²-9χ+8=0

（2）9χ²+6χ+1=0

（3）16χ²+8χ=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。

作业 ：习题2.6   1、2

要求学生先找出a，b，c，对b²-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

课后记

根据公式会解一元二次方程

元二次方程的解法 篇七

[课    题] §12.2 一元二次方程的解法（2）——配方法[教学目的]  使学生掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方；使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学重点]  掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。[教学难点 ]  掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方。[教学关键]  会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学用具]  [教学形式]  讲练结合法。[教学用时]  45′×1 [教学过程 ][复习提问] 1、在（x+3）2=2中，x+3与2的关系是什么？（x+3是2的平方根。）2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。（x2+6 x+9=2，x2+6 x+7=0。）[讲解新课]现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。我们知道，方程：x2+6 x+7=0是由方程：（x+3）2=2变形得到的，因此，要解方程：x2+6 x+7=0应当如何变形？这里要求学生做尝试回答：要解方程：x2+6x+7=0，最好将其变形为：（x+3）2=2。这是因为，我们会用直接开平方法解方程：（x+3）2=2了。下面重点研究如何将方程：x2+6 x+7=0，变形为：（x+3）2=2。这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意启发学生找出一般性规律。将方程：x2+6 x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32，（x+3）2=2。解这个方程，得：x1=－3+ ，x2=－3－ 。随后提出：这种解一元二次方程的方法叫做配方法。很明显，掌握这种方法的关键是“配方”。上述引例以及列3，二次项系数都是1，而例4，二次项的系数不是1，这时，要将方程的两边都除以二次项的系数，就把该方程的二次项系数变成1了。这样，“配方”就容易了。让学生做练习：1、x2+6x+      =（x+    ）2；（9，3）2、x2－5x+     =（x－    ）2；（ ， ）3、x2+ x+      =（x+    ）2；（ ， ）例3  解方程：x2－4 x－3=0。解：略。例4  解方程：2x2+3=7 x。解：略。说明：在讲解完这两个例题之后，一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解，另一方面是通过求解过程使学生掌握“配方”的方法。讲解应突出重点，对容易出错的地主应给予较多的讲解。如例4的解方程：2x2+3=7 x，在“分析”中指出，应先把这个方程化成一般形式：2x2－7 x +3=0。其次，这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，把方程的各项都除以2，并移项，得：x2－ x=－ ；下一步应是配方。这里，一次项的系数是（－ ），它的一半的平方是（－ ）2。学生在这里容易出错。讲解时，应提醒学生注意。我们知道，配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法，而用公式法。但是，配方法是导出公式法——求根公式的关键，在以后的学习中，会常常用到配方法，所以掌握这个数学方法是重要的。[课堂练习]教科书第10页练习第1，2题。[课堂小结]这堂课我们主要学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。请同学们回去后，用配方法解一下关于x的方程：ax2+bx+c=0（a≠0）。（此题为下一课讲解作准备，可指定一些同学做，从中了解在公式推导过程中存在的问题。）[课外作业 ]教科书第15页习题12.1A组第3，4题。[板书设计 ]

课题：     例题：辅助板书：[课后记]通过本节课的学习，多数学生对配方法解一元二次方程基本掌握，但有一部分学生对一元二次方程一般式的配方法掌握的不好，希望课后多加练习。