∴ PF1+PF2=6>F1F2
又∵x>0,∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.
∵ 2a=6,∴a=3
又∵ 2c=2m,∴ c=m,b2=a2-c2=9-m2
∴ 所求轨迹方程为 (x>0,0<m<3)
( II )设B(x1, y1),C(x2, y2),
∴∴ 而y1y2= (x1-2)? (x2-2)
= [x1x2-2(x1+x2)+4]
∴ [x1x2-2(x1+x2)+4]
= [10x1x2+7(x1+x2)+13]
若存在实数m,使得 成立
则由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]=
可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①
再由
消去y,得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②
因为直线与点P的轨迹有两个交点.
所以
由①、④、⑤解得m2= <9,且此时△>0
但由⑤,有9m2-77= <0与假设矛盾
∴ 不存在符合题意的实数m,使得
例7、已知C1: ,抛物线C2:(y-m)2=2px (p>0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若p= ,且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
解:(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1, )或(1,- ).
∵点A在抛物线上,∴
此时C2的焦点坐标为( ,0),该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
由 (kx-k-m)2= ①
因为C2的焦点F( ,m)在y=k(x-1)上.
所以k2x2- (k2+2)x+ =0 ②
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
由
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的两根,所以x1+x2=
从而 = k2=6即k=±
又m=- ∴m= 或m=-
当m= 时,直线AB的方程为y=- (x-1);
当m=- 时,直线AB的方程为y= (x-1).
例8、已知椭圆C: (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设 = .
(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若 ,△MF1F2的周长为6,写出椭圆C的方程;
https://m.shubaoc.com/ (Ⅲ)确定解:(Ⅰ)因为A、B分别为直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是A(- ,0),B(0,a).
由 得 这里∴M = ,a)
即 解得
(Ⅱ)当 时, ∴a=2c
由△MF1F2的周长为6,得2a+2c=6
∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程为
(Ⅲ)∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有PF1=F1F2,即 PF1=C.
设点F1到l的距离为d,由
PF1= =得: =e ∴e2= 于是
即当(注:也可设P(x0,y0),解出x0,y0求之)
【模拟】
一、选择题
1、动点M到定点 和 的距离的和为8,则动点M的轨迹为 ( )
A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线
2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A、 C、2- -1
3、(20xx年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C: 的焦点,在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为( )
A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定
4、椭圆 的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为 ( )
A、32 B、16 C、8 D、4
5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上,则 的最小值为( )
A、 C、
6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它的短轴的一个端点,则 等于( )
A、 C、
二、填空题
7、椭圆 的顶点坐标为 和 ,焦点坐标为 ,焦距为 ,长轴长为 ,短轴长为 ,离心率为 ,准线方程为 .
8、设F是椭圆 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2, ),使得FP1、FP2、FP3…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围是 .
9、设 , 是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上一点,且 ,则得 .
10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是
三、解答题
11、根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)和椭圆 共准线,且离心率为 .
(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 和 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.
12、已知 轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆 上的动点,求AQ中点M的轨迹方程
13、椭圆 的焦点为 =(3, -1)共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M是椭圆上任意一点,且 = 、 ∈R),证明 为定值.
【试题答案】
1、B
2、D
3、A
4、B
5、D(法一:设 ,则y=kx代入椭圆方程中得:(1+2k2)x2-4x+3=0,由△≥0得: .法二:用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)
6、C
7、( ;(0, );6;10;8; ; .
8、 ∪
9、
10、m< 且m≠0.
11、(1)设椭圆方程 .
解得 , 所求椭圆方程为(2)由 .
所求椭圆方程为 的坐标为
因为点 为椭圆 上的动点
所以有
所以中点
13、解:设P点横坐标为x0,则 为钝角.当且仅当 .
14、(1)解:设椭圆方程 ,F(c,0),则直线AB的方程为y=x-c,代入 ,化简得:
x1x2=
由 =(x1+x2,y1+y2), 共线,得:3(y1+y2)+(x1+x2)=0,
又y1=x1-c,y2=x2-c
∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,∴ x1+x2=
即 = ,∴ a2=3b2
∴ 高中地理 ,故离心率e= .
(2)证明:由(1)知a2=3b2,所以椭圆 可化为x2+3y2=3b2
设 = (x2,y2),∴ ,
∵M∴ ( )2+3( )2=3b2
即: )+ (由(1)知x1+x2= ,a2= 2,b2= c2.
x1x2= = 2
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= 2- 2+3c2=0
又 =3b2代入①得
为定值,定值为1.
高一数学教案全集5 篇四
数学教案-圆的周长、弧长
圆周长、弧长(一)
教学目标 :
1、初步掌握圆周长、弧长公式;
2、通过弧长公式的推导,培养学生探究新问题的能力;
3、调动学生的积极性,培养学生的钻研精神;
4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力,综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
教学重点:弧长公式。
教学难点 :正确理解弧长公式。
教学活动设计:
(一)复习(圆周长)
已知⊙O半径为R,⊙O的周长C是多少?
C=2πR
这里π=3.14159…,这个无限不循环的小数叫做圆周率。
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算,那么怎样求一段弧的长度呢?
提出新问题:已知⊙O半径为R,求n°圆心角所对弧长。
(二)探究新问题、归纳结论
教师组织学生探讨(因为问题并不难,学生完全可以自己研究得到公式)。
研究步骤:
(1)圆周长C=2πR;
(2)1°圆心角所对弧长=;
(3)n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍;
(4)n°圆心角所对弧长=。
归纳结论:若设⊙O半径为R, n°圆心角所对弧长l,则
(弧长公式)
(三)理解公式、区分概念
教师引导学生理解:
(1)在应用弧长公式 进行计算时,要注意公式中n的意义。n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的;
(2)公式可以理解记忆(即按照上面推导过程记忆);
(3)区分弧、弧的度数、弧长三概念。度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的。弧也不一定是等孤,而只有在同圆或等圆中,才可能是等弧。
(四)初步应用
例1、已知:如图,圆环的外圆周长C1=250cm,内圆周长C2=150cm,求圆环的宽度d (精确到1mm)。
分析:(1)圆环的宽度与同心圆半径有什么关系?
(2)已知周长怎样求半径?
(学生独立完成)
解:设外圆的半径为R1,内圆的半径为R2,则
d= 。
∵ , ,
∴ (cm)
例2,弯制管道时,先按中心线计算展直长度,再下料,试计算图所示管道的展直长度L(单位:mm,精确到1mm)
教师引导学生把实际问题抽象成数学问题,渗透数学建模思想。
解:由弧长公式,得
(mm)
所要求的展直长度
L (mm)
答:管道的展直长度为2970mm.
课堂练习:P176练习1、4题。
(五)总结
知识:圆周长、弧长公式;圆周率概念;
能力:探究问题的方法和能力,弧长公式的记忆方法;初步应用弧长公式解决问题。
(六)作业 教材P176练习2、3;P186习题3.
高一数学的教案 篇五
和初中数学相比,高中数学的内容多,抽象性、理论性强,因为不少同学进入高中之后很不适应,特别是高一年级,进校后,代数里首先遇到的是理论性很强的函数,再加上立体几何,空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来,这就使一些初中数学学得还不
错的同学不能很快地适应而感到困难,以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。
一、首先要改变观念。
初中阶段,特别是初中三年级,通过大量的练习,可使你的成绩有明显的提高,这是因为初中数学知识相对比较浅显,更易于掌握,通过反复练习,提高了熟练程度,即可提高成绩,既使是这样,对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。例如在初中问a=2时,a等于什么,在中考中错的人极少,然而进入高中后,老师问,如果a=2,且a<0,那么a等于什么,既使是重点学校的学生也会有一些同学毫不思索地回答:a=2。就是以说明了这个问题。又如,前几年北京四中高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后,曾向老师提出“抗议”说:“你们平时的作业也不多,测验也很少,我不会学”,这也正说明了改变观念的重要性。
高中数学的理论性、抽象性强,就需要在对知识的理解上下功夫,要多思考,多研究。
二、提高听课的效率是关键。
学生学习期间,在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何,决定着学习的基本状况,提高听课效率应注意以下几个方面:
1、 课前预习能提高听课的针对性。
预习中发现的难点,就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;预习还可以培养自己的自学能力。
2、 听课过程中的科学。
首先应做好课前的物质准备和精神准备,以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象;上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘,或不能平静下来。
其次就是听课要全神贯注。
全神贯注就是全身心地投入课堂学习,耳到、眼到、心到、口到、手到。
耳到:就是专心听讲,听老师如何讲课,如何分析,如何归纳总结,另外,还要听同学们的答问,看是否对自己有所启发。
眼到:就是在听讲的同时看课本和板书,看老师讲课的表情,手势和演示实验的动作,生动而深刻的接受老师所要表达的思想。
心到:就是用心思考,跟上老师的数学思路,分析老师是如何抓住重点,解决疑难的。
口到:就是在老师的指导下,主动回答问题或参加讨论。
手到:就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点,记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。
若能做到上述“五到”,精力便会高度集中,课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。
3、 特别注意老师讲课的开头和结尾。
老师讲课开头,一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容,是把旧知识和新知识联系起来的环节,结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结,具有高度的概括性,是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。
4、要认真把握好思维逻辑,分析问题的思路和解决问题的思想方法,坚持下去,就一定能举一反三,提高思维和解决问题的能力。
此外还要特别注意老师讲课中的提示。
老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。
最后一点就是作好笔记,笔记不是记录而是将上述听课中的要点,思维方法等作出简单扼要的记录,以便复习,消化,思考。
三、做好复习和总结工作。
1、做好及时的复习。
课完课的当天,必须做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记,而是采取回忆式的复习:先把书,笔记合起来回忆上课老师讲的内容,例题:分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。然后打开笔记与书本,对照一下还有哪些没记清的,把它补起来,就使得当天上课内容巩固下来,同时也就检查了当天课堂听课的效果如何,也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、 做好单元复习。
学习一个单元后应进行阶段复习,复习方法也同及时复习一样,采取回忆式复习,而后与书、笔记相对照,使其内容完善,而后应做好单元小节。
3做好单元小结。
单元小结内容应包括以下部分。
(1)本单元(章)的知识网络;
(2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);
(3)自我体会:对本章内,自己做错的典型问题应有记载,分析其原因及正确答案,应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。
四、关于做练习题量的问题
有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上。我认为这是不妥当的,我认为,“不要以做题多少论英雄”,重要的不在做题多,而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识,方法是否掌握得很好。如果你掌握得不准,甚至有偏差,那么多做题的结果,反而巩固了你的缺欠,因此,要在准确地把握住基本知识和方法的`基础上做一定量的练习是必要的。而对于中档题,尢其要讲究做题的效益,即做题后有多大收获,这就需要在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过,把它们联系起来,你就会得到更多的经验和教训,更重要的是养成善于思考的好习惯,这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量(老师布置的作业量)的练习就不能形成技能,也是不行的。
另外,就是无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,也是学好数学的重要问题。
最后想说的是:“兴趣”和信心是学好数学的最好的老师。这里说的“兴趣”没有将来去研究数学,做数学家的意思,而主要指的是不反感,不要当做负担。“伟大的动力产生于伟大的理想”。只要明白学习数学的重要,你就会有无穷的力量,并逐步对数学感到兴趣。有了一定的兴趣,随之信心就会增强,也就不会因为某次考试的成绩不理想而泄气,在不断总结经验和教训的过程中,你的信心就会不断地增强,你也就会越来越认识到“兴趣”和信心是你学习中的最好的老师。
高一数学教案 篇六
数学课堂教学
三维目标的具体内容和层次划分
请阐述数学课堂教学三维目标的具体内容和层次划分
知识与技能掌握应用,既是课堂教学的出发点,又是课堂教学的归宿。教与学,都要通过知识与技能来体现的。那么,什么是三维目标内容呢?
所谓三维目标是是指:“知识与技能”,“过程和方法”、“情感、态度、价值观”。
知识与技能:既是课堂教学的出发点,又是课堂教学的归宿。我们在教学过程中,需要学生掌握什么,哪些些问题需要重点掌握,哪些只需简单理解;技能是会与不会的问题。属显性范畴,具有可测性,大都采用定量分析与评价、知识与技能是传统教学合理的内核,是我国传统教育教学的优势,应该从传统教学中继承与发扬。新课改不是不要双基,而是不要过度的强调双基,而舍弃弱化其它有价值的东西,导致非全面、不和蔼的发展。
过程与方法:既是课堂教学的目标之一,又是课堂教学的操作系统。“过程和方法”维度的目标立足于让学生会学,新课程倡导对学与教的过程的体验、方法的选择,是在知识与能力目标基础上对教学目标的进一步开发。过程与方法是一个体验的过程、发现的过程,不但可以让学生体验到科学发展的过程,我们更多地要让学生掌握过程,不一定要统一的结果。
情感、态度与价值观:既是课堂教学的目标之一,又是课堂教学的动力系统。“情感、态度和价值观”,目标立足于让学生乐学,新课程倡导对学与教的情感体验、态度形成、价值观的体现,是在知识与能力、过程与方法目标基础上对教学目标深层次的开拓,只有学生充分的认识到他们肩负的责任,就能够激发起他们的学习热情,他们才会有浓厚的学习兴趣,才能学有所成,将来回报社会。
三维目标不是三个目标,也不是三种目标,是一个问题的三个方面。三维目标是三位一体不可分割的,他们是相辅相成的,相互促进的。
2020高一数学教案 篇七
教学目标:①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决:对数的大小比较,求复合函数的定义域、值 域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。
教学重点与难点:对数函数的性质的应用。
教学过程设计:
⒈复习提问:对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1 比较数的大小
例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)
⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ
师:请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征?
生:这两个对数底相等。
师:那么对于两个底相等的对数如何比大小?
生:可构造一个以a为底的对数函数,用对数函数的单调性比大小。
师:对,请叙述一下这道题的解题过程。
生:对数函数的单调性取决于底的大小:当0
调递减,所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时,函数y=logax单调递
增,所以loga5.1
板书:
解:Ⅰ)当0
∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9
Ⅱ)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
∵5.1<5.9 ∴loga5.1
师:请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征?
生:这三个对数底、真数都不相等。
师:那么对于这三个对数如何比大小?
生:找“中间量”, log0.50.6>0,lnЛ>0,logЛ0.5<0;lnЛ>1,
log0.50.6<1,所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。
板书:略。
师:比较对数值的大小常用方法:①构造对数函数,直接利用对数函
数 的单调性比大小,②借用“中间量”间接比大小,③利用对数
函数图象的位置关系来比大小。
2 函数的定义域, 值 域及单调性。
例 2 ⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)
师:如何来求⑴中函数的定义域?(提示:求函数的定义域,就是要使函数有意义。若函数中含有分母,分母不为零;有偶次根式,被开方式大于或等于零;若函数中有对数的形式,则真数大于零,如果函数中同时出现以上几种情况,就要全部考虑进去,求它们共同作用的结果。)生:分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0,且真数x>0。
板书:
解:∵ 2x-1≠0 x≠0.5
log0.8x-1≥0 , x≤0.8
x>0 x>0
∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕
师:接下来我们一起来解这个不等式。
分析:要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义,即真数大于零,
再根据对数函数的单调性求解。
师:请你写一下这道题的解题过程。
生:<板书>
解: x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1
(3x+3)>0 , x>-1
x2+2x-3<(3x+3) -2
不等式的解为:1
例 3 求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x- x2)
⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)
师:求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生:此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。
板书:
解:⑴∵u= x- x2>0, ∴0
u= x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0
∴y= log0.5u≥log0.50.25=2
∴y≥2
x x(0,0.5] x[0.5,1)
u= x- x2
y= log0.5u
y=log0.5(x- x2)
函数y=log0.5(x- x2)的单调递减区间(0,0.5],单调递 增区间[0.5,1)
注:研究任何函数的性质时,都应该首先保证这个函数有意义,否则
函数都不存在,性质就无从谈起。
师:在⑴的基础上,我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什
么区别?
生:⑴的底数是常值,⑵的底数是字母。
师:那么⑵如何来解?
生:只要对a进行分类讨论,做法与⑴类似。
板书:略。
⒊小结
这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题,希望能
通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用,提高解题能力。
⒋作业
⑴解不等式
①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数)
⑵已知函数y=loga(x2-2x),(a>0,a≠1)
①求它的单调区间;②当0
⑶已知函数y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)
①求它的定义域;②讨论它的奇偶性; ③讨论它的单调性。
⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),
①求它的定义域;②当x为何值时,函数值大于1;③讨论它的
单调性。
5、课堂教学设计说明
这节课是安排为习题课,主要利用对数函数的性质解决一些问题,整个一堂课分两个部分:一 。比较数的大小,想通过这一部分的练习,
培养同学们构造函数的思想和分类讨论、数形结合的思想。二。函数的定义域, 值 域及单调性,想通过这一部分的练习,能使同学们重视求函数的定义域。因为学生在求函数的值域和单调区间时,往往不考虑函数的定义域,并且这种错误很顽固,不易纠正。因此,力求学生做到想法正确,步骤清晰。为了调动学生的积极性,突出学生是课堂的主体,便把例题分了层次,由易到难,力求做到每题都能由学生独立完成。但是,每一道题的解题过程,老师都应该给以板书,这样既让学生有了获取新知识的快乐,又不必为了解题格式的不熟悉而烦恼。每一题讲完后,由教师简明扼要地小结,以使好学生掌握地更完善,较差的学生也能够跟上。
高一数学教案全集5 篇八
圆周长、弧长(二)
教学目标 :
1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题;
2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力;
3、通过应用题的教学,向学生渗透理论联系实际的观点。
教学重点:灵活运用弧长公式解有关的应用题。
教学难点 :建立数学模型。
教学活动设计:
(一)灵活运用弧长公式
例1、填空:
(1)半径为3cm,120°的圆心角所对的弧长是_______cm;
(2)已知圆心角为150°,所对的弧长为20π,则圆的半径为_______;
(3)已知半径为3,则弧长为π的弧所对的圆心角为_______.
(学生独立完成,在弧长公式中l、n、R知二求一。)
答案:(1)2π;(2)24;(3)60°。
说明:使学生灵活运用公式,为综合题目作准备。
练习:P196练习第1题
(二)综合应用题
例2、如图,两个皮带轮的中心的距离为2.1m,直径分别为0.65m和0.24m.(1)求皮带长(保留三个有效数字);(2)如果小轮每分转750转,求大轮每分约转多少转。
教师引导学生建立数学模型:
分析:(1)皮带长包括哪几部分(+DC++AB);
(2)“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”,给我们解决此题提供了什么数学信息?
(3)AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系?AB与CD具有什么数量关系?根据是什么?(AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线,AB=CD,根据的是两圆外公切线长相等。)
(4)如何求每一部分的长?
这里给学生考虑的时间和空间,充分发挥学生的主体作用。
解:(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C,作O2E⊥O1A,垂足为E.
∵O1O2=2.1, , ,
∴ ,
∴ (m)
∵ ,∴ ,
∴的长l1 (m)。
∵, ∴的长(m)。
∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62(m)。
(2)设大轮每分钟转数为n,则
, (转)
答:皮带长约5.63m,大轮每分钟约转277转。
说明:通过本题渗透数学建模思想,弧长公式的应用,求两圆公切线的方法和计算能力。
巩固练习:P196练习2、3题。
探究活动
钢管捆扎问题
已知由若干根钢管的外直径均为d,想用一根金属带紧密地捆在一起,求金属带的长度。
请根据下列特殊情况,找出规律,并加以证明。
提示:设钢管的根数为n,金属带的长度为Ln如图:
当n=2时,L2=(π+2)d.
当n=3时,L3=(π+3)d.
当n=4时,L4=(π+4)d.
当n=5时,L5=(π+5)d.
当n=6时,L6=(π+6)d.
当n=7时,L7=(π+6)d.
当n=8时,L8=(π+7)d.
猜测:若最外层有n根钢管,两两相邻接排列成一个向外凸的圈,相邻两圆是切,则金属带的长度为L=(π+n)d.
证明略。
高一数学教案 篇九
第二十四教时
教材:倍角公式,推导和差化积及积化和差公式
目的:继续复习巩固倍角公式,加强对公式灵活运用的训练;同时,让学生推导出和差化积和积化和差公式,并对此有所了解。
过程:
一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程:
例一、 已知 , ,tan = ,tan = ,求2 +
(《教学与测试》P115 例三)
解:
又∵tan2 0,tan 0 ,
2 + =
例二、 已知sin cos = , ,求 和tan的值
解:∵sin cos =
化简得:
∵ 即
二、 积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
这套公式称为三角函数积化和差公式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点在于将积式化为和差,有利于简化计算。(在告知公式前提下)
例三、 求证:sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证:左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
原式得证
三、 和差化积公式的推导
若令 + = , = ,则 , 代入得:
这套公式称为和差化积公式,其特点是同名的正(余)弦才能使用,它与积化和差公式相辅相成,配合使用。
例四、 已知cos cos = ,sin sin = ,求sin( + )的值
解:∵cos cos = , ①
sin sin = , ②
四、 小结:和差化积,积化和差
五、 作业:《课课练》P3637 例题推荐 13
P3839 例题推荐 13
P40 例题推荐 13